题目内容
9．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1），∠α=50°，则∠1+∠2=140°
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠1+∠2=90°+α
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4），则∠α、∠1、∠2之间的关系为：∠2=90°+∠1-α．
分析 （1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
解答 解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°，
故答案为：140；
（2）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：如图3，∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）如图4，∵∠PFD=∠EFC，
∴180°-∠PFD=180°-∠EFC，
∴∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-α，
故答案为：∠2=90°+∠1-α．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质的综合应用，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
练习册系列答案
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