Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线DC⊥BE于点E，BC平分∠ABE，连接AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠A=60°，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠OCB=∠CBE，得到OC∥BE；由BE⊥DE，得到OC⊥DE，即可解决问题．
（2）求出AC=2，BC=2

3

；证明∠ACB=∠BEC，∠ABC=∠CBE，得到△ABC∽△CBE，进而得到

AB

BC

=

AC

CE

，求出CE=

3

．

解答：解：（1）如图，连接OC；
∵BC平分∠ABE，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OBC=∠CBE，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC∥BE；而BE⊥DE，
∴OC⊥DE，
即DE是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，而∠A=60°，
∴∠ABC=30°，AC=

1

2

AB=2，
BC=

3

2

×4=2

3

；
∵∠ACB=∠BEC，∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴

AB

BC

=

AC

CE

，CE=

3

．

点评：该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定及其质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、解答．