Question

如图（1），在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图（2），将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G，判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
（3）在（2）中的旋转过程中，试说明为什么∠EAC=∠EFC．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出AO、OB，根据勾股定理求出即可；
（2）求出△ABE≌△ACF，推出AE=AF，根据等边三角形的判定推出即可；
（3）根据三角形内角和定理求出即可．

解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=1，BO=

1

2

BD=

3

，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

AO2+BO2

=2；

（2）△AEF是等边三角形，
理由是：∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC=2 ∠EBA=∠FCA

∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；

（3）∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°，∠AEG=∠FCG=60°，∠EGA=∠CGF，
∴∠EAC=∠GFC．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．