Question

3．如图，Rt△ABC的角平分线AD与BE相交于F，M是DE的中点，设FM=2.5，S_△DEF=15，求CD，AB的长．

Answer 1

分析 在AB上取两点H、O，使AE=AH，BO=BD，连接FH、FO，延长FM至L，使LM=FM，连接EL，过E作EG⊥MN，交NM的延长线于点G，作FK⊥AC于K，FJ⊥BC于J．首先证明△EGF≌△FNH，推出HO=5，FN=EG=6，再在△FHO中，解三角形求出FH、OF，利用勾股定理求出DJ、EK，利用MJ∥AC，得到$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，求出AF，由FK∥BC，得$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，求出BF，再由勾股定理求出AN、BN即可解决问题．

解答 证明：在AB上取两点H、O，使AE=AH，BO=BD，连接FH、FO，延长FM至L，使LM=FM，连接EL，过E作EG⊥MN，交NM的延长线于点G，作FK⊥AC于K，FJ⊥BC于J．得△AEF≌△AHF，则∠AFH=∠AFE=45°，
同理得：∠BFD=∠BFO=45°，
∴∠HFO=180°-45°-45°-45°=45°，
得△EML≌△DMF，则EL=DF，∠LEM=∠FDM，
∵∠BFD=∠FED+∠FDM=45°，
∴∠FED+∠LEM=45°，
即∠LEF=45°，
∴∠LEF=∠HFO=45°，
∵EF=FH，OF=FD=EL，
∴△LEF≌△OFH，
∴∠EFM=∠FHN，
过E作EG⊥MN，交NM的延长线于点G，
∵∠GEF+∠EFG=90°，∠EFG+∠HFN=90°，
∴∠GEF=∠HFN，
∴△EGF≌△FNH，
∴EG=FN，
∵M是DE的中点，
∴S_△DEF=2S_△EFM=2×$\frac{1}{2}$×FM•EG=FM•EG=15，
∵FM=$\frac{5}{2}$，
∴EG=6，
∴FN=EG=6．
把△FHO放大，下图中，作OT⊥FH于T，OT交FN于R．

∵∠TFO=∠TOF=45°，
∴TF=TO，
∵∠TFR+∠H=90°，∠H+∠HOT=90°，
∴∠TFR=∠TOH，∵∠FTR=∠OTH=90°，
∴△FTR≌△OTH，
∴TH=TR，FR=HC=5，
∴RN=1，设TH=TR=a，OR=y，
由△ORN∽△FRT，得$\frac{RN}{TR}$=$\frac{RO}{FR}$，
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{y}{5}$，
∴ay=5    ①
在Rt△HTO中，∵HT²+OT²=OH²，
∴a²+（a+y）²=5²      ②，
由①②可得a=$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
当a=$\sqrt{5}$时，则FH=3$\sqrt{5}$，OF=2$\sqrt{10}$，
∵FN=MJ=MK=6，
∴EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，DJ=$\sqrt{D{F}^{2}-M{J}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{6}^{2}}$=2，
易知四边形CKFJ是正方形，
∴CK=CJ=6，CD=CJ+DJ=8，
∵MJ∥AC，
∴$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{2}{6}$=$\frac{2\sqrt{10}}{AF}$，
∴AF=6$\sqrt{10}$，
∴AN=$\sqrt{A{F}^{2}-F{N}^{2}}$=18，
∵FK∥BC，
∴$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{3\sqrt{5}}{BF}$，
∴BF=6$\sqrt{5}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}-F{N}^{2}}$=12，
∴AB=18+12=30，
当a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，则FH=2$\sqrt{10}$，OF=3$\sqrt{5}$，
∵FN=MJ=MK=6，
∴EK=$\sqrt{E{F}^{2}-F{K}^{2}}$=2，DJ=$\sqrt{D{F}^{2}-M{J}^{2}}$=3，
易知四边形CKFJ是正方形，
∴CK=CJ=6，CD=CJ+DJ=9，
∵MJ∥AC，
∴$\frac{DJ}{CJ}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{3\sqrt{5}}{AF}$
∴AF=6$\sqrt{5}$，
∴AN=$\sqrt{A{F}^{2}-F{N}^{2}}$=12，
∵FK∥BC，
∴$\frac{EK}{CK}$=$\frac{EF}{BF}$，
，∴$\frac{2}{6}$=$\frac{2\sqrt{10}}{BF}$，
∴BF=6$\sqrt{10}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}-F{N}^{2}}$=18，
∴AB=18+12=30，
综上所述，AB=30，CD=8或9．

点评 本题考查角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质、平行线垂线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，特殊三角形解决问题，题目比较难，辅助线比较多，属于竞赛题目．