Question

12．二次函数的图象与x轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（-1，-8）两点，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把点（2，1）、（-1，-8）代入，然后利用根与系数的关系及代数式变形相结合来解答．

解答 解：抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把点（2，1）、（-1，-8）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=1}\\{a-b+c=-8}\end{array}\right.$，
则b=3-a．c=-5-2a，
设抛物线与x轴交点的横坐标分别是x₁、x₂，则
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=1-$\frac{3}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{5}{a}$-2，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2，即$\sqrt{（1-\frac{3}{a}）^{2}-4（-2-\frac{5}{a}）}$=2，
整理，得5a²+14a+9=0，
解得 a₁=-$\frac{9}{5}$，a₂=-1
则b=$\frac{24}{5}$或b=4，
c=-$\frac{7}{5}$或c=-3．
故该抛物线的解析式为：y=-$\frac{9}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x-$\frac{7}{5}$或y=-x²+4x-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．此题需要掌握根与系数的关系法与代数式变形相结合的知识．