Question

6．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（1）填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等．

Answer 1

分析 （1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．

解答 解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形．

（2）证明：连接BD，
在△ABD和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AD=BC}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．