Question

6．如图，互相垂直的两条射线OE与OF的端点O在三角板的内部，与三角板两条直角边的交点分别为点D、B．
（1）填空：若∠ABO=50°，则∠ADO=130°；
（2）若DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，如图1．求证：DC⊥BP；
（3）若DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，如图2．猜想DC与BP的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用垂直定义得到∠EOF=90°，然后利用四边形内角和等于360°，进行求解即可；
（2）延长DC交BP于G，由于∠OBA+∠ODA=180°，∠OBA+∠ABF=180°，根据等角的补角相等，得到∠ODA=∠ABF，由于DC平分∠ODA，BP平分∠ABF，则∠CDA=∠CBG，然后根据三角形内角和定理，可得∠BBGC=∠A=90°，于是DC⊥BP；
（3）作AH∥BP，由于∠OBA+∠ODA=180°，可得∠ABF+∠ADE=180°，再利用BP、DC分别平分∠ABF、∠ADE，可得∠ADC+∠ABP=90°，根据平行线的性质，可得∠ABP=∠BAH，结合∠BAH+∠DAH=90°，可得∠ABP+∠DAH=90°，根据同角的余角相等，可得∠ADC=∠DAH，于是可判定CD∥AH，最后得出DC与BP平行．

解答 （1）解：如图1，∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
在四边形OBAD中，∠A=∠BOD=90°，∠ABO=50°，
∴∠ADO=360°-90°-90°-50°=130°；
故答案为：130°；

（2）证明：如图1，延长DC交BP于G，
∵∠OBA+∠ODA=180°，
而∠OBA+∠ABF=180°，
∴∠ODA=∠ABF，
∵DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线，
∴∠CDA=∠CBG，
而∠DCA=∠BCG，
∴∠BGC=∠A=90°，
∴DC⊥BP；

（3）解：DC与BP互相平行．
理由：如图2，作过点A作AH∥BP，则∠ABP=∠BAH，
∵∠OBA+∠ODA=180°，
∴∠ABF+∠ADE=180°，
∵DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线，
∴∠ADC+∠ABP=90°，
∴∠ADC+∠BAH=90°，
而∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠DAH=∠ADC，
∴CD∥AH，
∴CD∥BP．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了四边形内角和定理、平行线的判定与性质以及角平分线和垂线的定义的综合应用．解决问题的关键是掌握：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．解题时注意：同角的补角相等以及同角的余角相等的灵活运用．