Question

18．△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）如图1，连接CD，求证：∠A=∠BCD；
（2）动点M在线段BC上，问：当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？请在图2中补全图形并对你的判断加以证明．（有不同的证明方法）

Answer 1

分析 （1）如图1，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，然后利用等角的余角相等证明结论；
（2）当M点为BC的中点时，DM与⊙O相切．连接OD，如图2，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=CM，则∠MDC=∠MCD，加上∠ODC=∠OCD，所以∠ODM=∠OCM=90°，然后根据切线的判定定理可判断DM为⊙O的切线．

解答 （1）证明：如图1，
AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD；
（2）解：当M点为BC的中点时，DM与⊙O相切．
理由如下：
连接OD，如图2，
∵M点BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC，即DM=CM，
∴∠MDC=∠MCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD+∠MCD=∠ODC+∠MDC，
即∠ODM=∠OCM=90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．