Question

3．如图，在?ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连结DG，延长DC，交GE的延长线于点H．已知BC=10，∠GDH=45°，DG=8$\sqrt{2}$．求CD的长．

Answer 1

分析 先在RT△DHG中求出GH，再证明GE=EH=$\frac{1}{2}$GH，在RT△EHC求出CH即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EG⊥AB，
∴∠BGE=∠EHC=90°，
在RT△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8$\sqrt{2}$，
∴DH=GH=8，
∵E为BC中点，BC=10，
∴BE=EC=5，
在△BEG和△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠EHC}\\{∠BEG=∠HEC}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CEH，
∴GE=HE=$\frac{1}{2}$GH=4，
在RT△EHC中，∵∠H=90°，CE=5，EH=4，
∴CH=3，CD=5．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，所以中考常考题型．