Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边中点，CE∥AB，BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC．求证：
（1）BF=CF；
（2）BF²=FG•FE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DBF=∠DCF，∠ABD=∠ACD，求得∠ABF=∠GCF；由平行线的性质得到∠ABF=∠CEF，推出△CFG∽△ECF，得到$\frac{FG}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴BF=CF；

（2）∵BF=CF，AB=AC，
∴∠DBF=∠DCF，∠ABD=∠ACD，
∴∠ABF=∠GCF；
∵CE∥AB，
∴∠ABF=∠CEF，
∴∠GCF=∠CEF，而∠GFC=∠CFE，
∴△CFG∽△ECF，
∴$\frac{FG}{CF}$=$\frac{CF}{EF}$，即CF²=FG•FE，
∴BF²=FG•FE．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．