Question

19．已知A（-5，0），B（$\sqrt{5}$，0），P点为直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$上的一个动点，P点的横坐标为a，若∠APB为钝角，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意可知点A在一次函数的图象上，然后构造以AB为直径的⊙M，⊙M与直线的交点为P，过点P作PN⊥AB，垂足为N，根据k的意义可知：tan∠PAB=$\frac{1}{3}$，接下来利用锐角三角形函数的定义可求得AN的长度，从而可求得点N的坐标，最后根据当点P在圆内时，∠APB为钝角即可求得a的取值范围．

解答 解：由直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$可知：直线与x轴的交点为（-5，0），
∴直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$经过A点．
如图所示：构造以AB为直径的⊙M，⊙M与直线的交点为P，过点P作PN⊥AB，垂足为N．

∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB=90°．
∴tan∠PAB=$\frac{1}{3}$．
∴cos∠PAB=$\frac{3}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴AP=cos∠PAB•AB，AN=cos∠PAB•AP．
∴AN=$\frac{9}{10}$AB=$\frac{9}{10}（\sqrt{5}+5）$=$\frac{9}{2}$+$\frac{9\sqrt{5}}{10}$．
∵ON=AN-OA=$\frac{9}{2}$+$\frac{9\sqrt{5}}{10}$-5=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$-$\frac{1}{2}$．
当点P在⊙M内时，∠APB为钝角．
∴当-5＜a＜$\frac{9\sqrt{5}}{10}$-$\frac{1}{2}$时，∠APB为钝角．

点评 本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、一次函数的图象和性质，由一次函数的一次项系数k的意义得到tan∠PAB=$\frac{1}{3}$是解题的关键．