Question

8．锐角△ABC中，AB＞BC＞CA，O、I、H分别是它的外心、内心，垂心，已知∠A=60°，求证：（1）∠OIH-∠ABC是一个定值；（2）∠OIH+∠ACB也是一个定值．

Answer 1

分析 （1）连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，作OD⊥AB于D，连接OB、OC、OI、IH，设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，由圆周角定理得出∠BOD=∠ACB=∠BCE，得出∠ABO=∠OBD=∠CBE=α，∠ABC=∠ABE+α=（90°-∠A）+α=30°+α，证出∠BOC=∠BIC=∠BHC，得出B、O、I、H、C五点共圆，得出∠OBC=∠OCB=30°，∠CIH=∠CBH=α，∠OIC=180°-∠OBC=150°，得出∠OIH=150°+α，即可得出结论；
（2）∠OIH+∠ACB=（150°+α）+（90°-α）=240°，即可得出结论．

解答 证明：（1）连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，作OD⊥AB于D，连接OB、OC、OI、IH，如图所示：
设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，
由圆周角定理得：∠BOD=∠ACB=∠BCE，
∴∠ABO=∠OBD=∠CBE=α，∠ABC=∠ABE+α=（90°-∠A）+α=30°+α，
∵∠BOC=2∠BAC=120°，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC=120°，∠BHC=∠EHF=180°-∠A=120°，
∴∠BOC=∠BIC=∠BHC，
∴B、O、I、H、C五点共圆，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠CIH=∠CBH=α，∠OIC=180°-∠OBC=150°，
∴∠OIH=150°+α，
∴∠OIH-∠ABC=（150°+α）-（30°+α）=120°，
∴∠OIH-∠ABC是一个定值；
（2）∠OIH+∠ACB=（150°+α）+（90°-α）=240°，
∴∠OIH+∠ACB也是一个定值．

点评 本题考查了三角形的外心、内心、垂心、圆周角定理、五点共圆、垂径定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（1）中，需要通过作多条辅助线证明五点共圆才能得出结果．