Question

3．若一个多边形的内角由小到大依次相差10°，则此多边形的边数可能是多少？

Answer 1

分析 设最小角为a度，边长为n，则内角和为（n-2）•180°，n个内角分别为a，a+10°，a+20°，…，a+（n-1）10°，所以a+a+10+a+20+…+a+（n-1）10=（n-2）•180，整理可得：na+5n²-5n=180n-360，解得：a=$\frac{-5{n}^{2}+185n-360}{n}$，即可解答．

解答 解：设最小角为a度，边长为n，
则内角和为（n-2）•180°，n个内角分别为a，a+10°，a+20°，…，a+（n-1）10°，
∴a+a+10+a+20+…+a+（n-1）10=（n-2）•180，
∴na+$\frac{n（n-1）}{2}$×10=180（n-2），
∴na+5n²-5n=180n-360，
解得：a=$\frac{-5{n}^{2}+185n-360}{n}$，
∴n=3（50°，60° 70°）
n=4（75°，85°，95°，105°）
n=5（88°，98°，108°，118°，128°）
n=6（95°，105°，115°，125°，135°，145°）
n=8（100°，110°，120°，130°，140°，150°，160°，170°）．

点评 本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角和．