Question

如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

BC=4，E、F分别在BC、DC上，将梯形沿EF折叠，点C恰好落在点A上．
（1）求BE的长；
（2）设AD和EF的延长线交于G，试说明△AEG是等腰三角形；
（3）求EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,梯形

专题：

分析：（1）根据翻折的性质，可得AE=CE，∠FEC=∠AEF，再根据勾股定理，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠FEC=∠G，再根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得EG的长，再根据相似三角形的判定与性质，可得

EF

FG

=

EC

DG

=

5

1

=5，在根据线段的和差，可得答案．

解答：解：连接AE，延长EF、AD交于G，作EH⊥AD与H点，
AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

BC=4，
∴BC=8
（1）将梯形沿EF折叠，点C恰好落在点A上，
AE=CE，∠FEC=∠AEF，
设BE=x，CE=AE=8-x，
由勾股定理，得BE²+AB²=AE²，即
x²+4²=（8-x）²，
x=3，
BE=3；
（2）∵AD∥BC，
∴∠FEC=∠G．
∴∠AEG=∠G，
∴△AEG是等腰三角形；
（3）∵△AEG是等腰三角形，
∴AE=GE=5，．
∵ABEH是矩形，
∴AH=BE=3，
HG=5-3=2，DG=5-4=1，．
由勾股定理，得
EF=

HG2+HE2

=

22+42

=2

5

，
DG∥EC，
∴△ECF∽△GDF，

EF

FG

=

EC

DG

=

5

1

=5，
EF=5FG．
EF+GF=6FG=2

5

，
FG=

5

3

，
EF=5FG=

5 5

3

．

点评：本题考查了翻折问题，利用了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，题目稍难．