Question

8．如图，在平面直角坐标系中，一直线分别与坐标轴交于A（a，0）、B（0，b）两点，满足$\sqrt{（a-3）^{2}}$+|b-1|=0，在y轴负半轴上截取OC=OB．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB于E，交AC于F，交y轴于G，求F点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据$\sqrt{（a-3）^{2}}$+|b-1|=0，可得$\sqrt{（a-3）^{2}}$=0，且|b-1|=0，据此求出a，b的值各是多少；然后根据OC=OB，求出C的坐标，即可求出直线AC的解析式．
（2）首先根据DE⊥AB，求出直线DE的斜率，进而求出直线DE的解析式是多少；然后联立直线DE、AC的解析式，求出F点的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{（a-3）^{2}}$+|b-1|=0，
∴$\sqrt{（a-3）^{2}}$=0，且|b-1|=0，
∴a-3=0，且b-1=0，
解得a=3，b=1，
∴A（3，0）、B（0，1），
∵OC=OB，
∴C（0，-1），
设直线AC的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式是y=$\frac{1}{3}$x-1．

（2）∵A（3，0）、B（0，1），
∴直线AB的斜率是：
k=$\frac{1-0}{0-3}$=-$\frac{1}{3}$，
∵DE⊥AB，
∴直线DE的斜率是：
k′=（-1）÷（-$\frac{1}{3}$）=3，
∵点D的坐标是（1，0），
∴直线DE的解析式是y=3（x-1）=3x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$．
∴F点的坐标是（$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，分析推理能力，数形结合思想的应用，从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，要熟练掌握．