Question

如图，正方形ABCD的边长是4，点P是边CD上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在边AD延长线上取点F，使DF=DP，连接EF，CF路。

（1）求证：四边形PCFE是平行四边形；

（2）当点P在边CD上运动时，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时CP长；若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDF=90°。

∵在△ADP和△CDF中，AD=CD，∠ADP=∠CDF，DP=DF，

∴△ADP≌△CDF（SAS）。∴PA=FC，∠PAD=∠FCD。  

∵PA=PE，∴PE=FC。        

∵∠PAD+∠APD=90°，∠EPA=90°，∴∠PAD =∠DPE。                                

∴∠FCD =∠DPE。

∴EP∥FC。

∴四边形EPCF是平行四边形。

∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。

（2）有。

设CP=x，则DP=4﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，

 。

∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，

∴当x=2 时，S最大=4。

∴当CP=2 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为4。

【考点】四边形综合题，旋转问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。