Question

如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设CP=x，BM²=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD= a，AB=，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD内部时，求a的取值范围。

Answer 1

（1）∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。

（2）∵CP =x，CD=AB=20，∴DP =CD﹣DP=。

∵△ADP∽△ABQ，∴，即。

∴QB=。

在Rt△BMN中，由勾股定理得，

∴y与x的函数关系式为：（0＜x＜20）。

         ∵，

∴当x=12即CP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为。

（3）设PQ与AB交于点E。

∵MN为中位线，∴。

∵MN＞BE，∴，解得。即。

∵，∴。

∴当点M落在矩形ABCD愉部时，a的取值范围为：。

【考点】单动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，解不等式。