Question

6．如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB=45°，∠MDP=20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问$\frac{∠Q}{∠DPB}$是否为定值，若是定值，请求出；若不是，说明其范围；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问$\frac{∠Q}{∠DPB}$的值是否和（2）问中的情况一样呢，请将图形补充完整并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB∥CD、∠MNB=45°可求出∠PMD的度数，在△PMD中利用三角形内角和定理即可求出∠MPD的度数；
（2）过点P作PE∥AB，则PE∥CD，根据平行线的性质可得出∠DPE=∠CDP、∠BPE=∠ABP，进而可得出∠DPB=∠CDP+∠ABP，同理可找出∠Q=∠CDQ+∠ABQ=$\frac{1}{2}$（∠CDP+∠ABP）=$\frac{1}{2}$∠DPB，由此可得出$\frac{∠Q}{∠DPB}$的值为定值$\frac{1}{2}$；
（3）过点P作PE∥AB，过点Q作QE∥AB，则PF∥CD，QE∥CD，根据平行线的性质可得出∠BPF=∠ABP、∠DPF=∠CDP，进而可得出∠DPB=∠ABP-∠CDP，同理可找出∠BQD=∠ABQ-∠CDQ=$\frac{1}{2}$（∠ABP-∠CDP）=$\frac{1}{2}$∠DPB，由此可得出$\frac{∠Q}{∠DPB}$的值为定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵AB∥CD，∠MNB=45°，
∴∠PMD=180°-45°=135°，
∴∠MPD=180°-∠PMD-∠MDP=180°-135°-20°=25°．
（2）如图1，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DPE=∠CDP，∠BPE=∠ABP，
∴∠DPB=∠CDP+∠ABP．
同理：∠Q=∠CDQ+∠ABQ=$\frac{1}{2}$（∠CDP+∠ABP）=$\frac{1}{2}$∠DPB，
∴$\frac{∠Q}{∠DPB}$=$\frac{1}{2}$．
（3）如图2，过点P作PE∥AB，过点Q作QE∥AB，则PF∥CD，QE∥CD，
∴∠BPF=∠ABP，∠DPF=∠CDP，
∴∠DPB=∠BPF-∠DPF=∠ABP-∠CDP．
同理：∠BQD=∠ABQ-∠CDQ=$\frac{1}{2}$（∠ABP-∠CDP）=$\frac{1}{2}$∠DPB，
∴$\frac{∠Q}{∠DPB}$=$\frac{1}{2}$，即（2）的结论仍成立．

点评 本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）根据平行线的性质求出∠PMD的度数；（2）利用平行线的性质找出∠DPB=∠CDP+∠ABP、∠Q=$\frac{1}{2}$（∠CDP+∠ABP）；（2）利用平行线的性质找出∠DPB=∠ABP-∠CDP、∠BQD=$\frac{1}{2}$（∠ABP-∠CDP）．