Question

5．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=10，AC=4，延长CF交AB于点G．
（1）求证：△AFG≌△AFC；
（2）求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得出∠GAF=∠CAF，再根据垂线的性质可得出∠GFA=∠AFC=90°，由此即可通过全等三角形的判定定理ASA来证出△AFG≌△AFC；
（2）根据（1）中的△AFG≌△AFC可得出AG、BG的长，再根据DF为△CBG的中位线，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠GAF=∠CAF．
∵CF⊥AE，
∴∠GFA=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠CAF}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFC}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFC（ASA）．
（2）解：∵△AFG≌△AFC，
∴AC=AG=4，GF=CF，
∴BG=AB-AG=10-4=6．
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$BG=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理ASA来证出△AFG≌△AFC；（2）找出DF是△CBG的中位线．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的边角关系通过全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．