Question

13．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；
（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）直接利用矩形的判定方法得出答案；
（3）这条路等长，证明△ADF≌△BAE即可得出答案．

解答 （1）证明：∵F分别为△ABC的边AB的中点，
∴BF=AF，
又∵DF=EF，
∴四边形AEBD是平行四边形；

（2）证明：∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；

（3）解：这条路等长，
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠BAE}\\{DF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF．

点评 此题主要考查了平行四边形以及矩形的判定方法和全等三角形的判定与性质等知识，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．