Question

17．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线L上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若CD=2，CE=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．根据AAS即可证明；
（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，结合三角形的面积公式进行解答即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠ECB=∠CBE．
在△ACD与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：如图，连接AE．
∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE=2，AD=CE=4，
∴S_△ABC=S_△AEC+S_△BCE-S_△AED=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×（4-2）×2=10．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据（AAS）证出△ACD≌△CBE；（2）利用分割图形求面积法求出△ABC的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，巧妙的借用分割图形求面积法求出△ABC的面积，给解题带来了方便．