Question

2．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上由B点出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为ts．
（1）证明：∠B=∠C；
（2）若点P的速度是3cm/s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则t为何值时△BPD与△CQP全等？请说明理由；
（3）若点P的速度比点Q的速度慢1cm/s，则点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）求出BP、CQ、CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，点P的速度是（x-1）cm/s，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=（x-1）t厘米，CP=[8-（x-1）t]厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）过A作AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠B=∠C；

（2）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△DBP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（3）设当点Q的运动速度为xcm/s，点P的速度是（x-1）cm/s，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=（x-1）t厘米，CP=[8-（x-1）t]厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①（x-1）t=xt，5=8-（x-1）t（不合题意，舍去），
②（x-1）t═8-（x-1）t，5=xt，
解得：x=5，
即当点Q的运动速度为5厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，特别是利用分类讨论的方法讨论三角形全等的情况，培养学生综合解题的能力．