Question

20．如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）
（1）求点B的坐标；
（2）求经过三点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使得S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABO？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x轴于E，作AF⊥x轴于F，证明△AOE∽△OBF，根据相似三角形的性质解答；
（2）利用待定系数法求出过三点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）根据三角形的面积公式确定点P的纵坐标，解方程即可．

解答 解：（1）如图1，作AE⊥x轴于E，作AF⊥x轴于F，
∵OB⊥OA，
∴∠AOE+∠BOF=90°，又∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，又∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AOE∽△OBF，
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=4，BF=2，
则点B的坐标为（4，2）；
（2）设过三点A、O、B的抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=2}\\{16a+4b+c=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
则过三点A、O、B的抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x；
（3）如图2，连接AB，
∵△ABP与△ABO的底都是AB，△ABO的底边AB上的高是2，S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABO，
∴△ABP的底边AB上的高为1，即点P的纵坐标为1或3，
当点P的纵坐标为1时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x=1，
整理得，x²-3x-2=0，
解得，x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
当点P的纵坐标为3时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x=3，
整理得，x²-3x-6=0，
解得，x₁=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，
则P点的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，1）、（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，1）、（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，3）、（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，3）．

点评 本题考查的是二次函数知识的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定和性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．