Question

5．平面直角坐标系中，矩形OMPN的顶点P在第一象限，M在x轴上，N在y轴上，点A是PN的中点，且tan∠AON=$\frac{3}{4}$，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0），与PM交于点B，过B作BC∥OA交x轴于C，若OC=$\frac{9}{2}$，则k=$\frac{972}{25}$．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（3a，4a），则点P的坐标为（6a，4a），k=12a²，由点B在双曲线上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，从而得出BM的长度，根据平行线的性质即可得出∠BCM=∠AOM，利用角的计算可得出∠CBM=∠AON，再根据tan∠AON=$\frac{3}{4}$结合勾股定理即可得出BC=$\frac{5}{2}$a=$\frac{9}{2}$，解之可求出a的值，将其代入k=12a²中即可求出k的值．

解答 解：设点A的坐标为（3a，4a），则点P的坐标为（6a，4a），k=12a²，
∵点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴点B的坐标为（6a，2a），
∴BM=2a．
∵BC∥OA，
∴∠BCM=∠AOM，
∵∠AON+∠AOM=∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠AON，
∴tan∠CBM=$\frac{CM}{BM}$=$\frac{3}{4}$，CM=$\frac{3}{4}$BM=$\frac{3}{2}$a．
在Rt△BMC中，BM=2a，CM=$\frac{3}{2}$a，BM⊥CM，
∴BC=$\sqrt{C{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a=$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{9}{5}$，k=12a²=$\frac{972}{25}$．
故答案为：$\frac{972}{25}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及勾股定理，根据勾股定理找出关于a的一元一次方程是解题的关键．