Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4

3

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
（2）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案；
（3）利用①当∠EDF=90°时；②如图，当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．

解答：解：（1）∵在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，
又∵AE=t
∴AE=DF；

（2）能，理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AB=BC×tan30°=4

3

×

3

3

=4，
∴AC=2AB=8，
∴AD=AC-DC=8-2t，
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=8-2t，
解得：t=

8

3

，
即当t=

8

3

时，四边形AEFD为菱形；

（3）①当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
即8-2t=2t，
解得：t=2；

②如图，当∠DEF=90°时，由（2）知，EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE×cos60°，
即8-2t=

1

2

t，
解得：t=

16

5

；

③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t=2或

16

5

时，△DEF为直角三角形．

点评：此题主要考查了四边形综合以及菱形的判定和锐角三角函数的应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．