Question

用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的中心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点．请你用如图证明三角形的重心分一条中线成的两条线段的比为1：2，即在△ABC中，BE，CD是两条中线，它们交于G，求证：DG：CG=EG：BG=1：2．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：证明题

分析：如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点E．根据三角形中位线定理得到DE=

1

2

BC，则HE=

1

2

BE．通过△HEG∽△EBG的对应边成比例证得结论．

解答：解：如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F．
∵点G是△ABC的重心，
∴点F是BC的中点．
∴BF=FC．
∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴HE∥BE，HE=

1

2

BF．
∴△HEG∽△FBG，
∴

GE

GB

=

HE

BF

=

1

2

，即EG：BG=1：2
同理 DG：CG=1：2．
∴DG：CG=EG：BG=1：2．

点评：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．