Question

2．如图，在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，D为BC的中点，CF⊥AD于E，BF∥AC，证明：DG=FG．

Answer 1

分析 首先证明△ACD≌△CBF（ASA），推出BF=CD=BD，再证明△BDG≌△BFG（SAS）即可解决问题．

解答 证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴∠CAB=45°，
∵BF∥AC
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，
∴BD=BF，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF（ASA），
∴BF=CD=BD，
在△BGD和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BF}\\{∠DBG=∠FBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△BFG（SAS），
∴DG=GF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．