Question

如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠BCD．
（1）求证：AB=CB；
（2）若∠ADC=2∠ABC=120°，AC交BD于H，请画出图形，给出BH与DH的数量关系，并证明；
（3）如图2，点E、F分别在线段BC，BD上，且点F在线段EC垂直平分线上，连接AF、AE，请给出∠AFB和∠AEB的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AC，易证∠DAC=∠DCA，即可求得∠BAC=∠BCA，即可解题；
（2）连接AC，BD，易证△ABC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=30°，即可求得B、H、D三点共线，可得BH=CH•tan60°，DH=CH•tan30°，即可解题；
（3）连接BD，EF，CF，则AF=FC，易证△ADF≌△CDF，可得∠DAF=∠DCF，即可求得∠BAF=∠BCF，即可求得∠FEC=∠BAF，可得∠BEF+∠BAF=180°，即可解题．

解答：证明：（1）连接AC，

∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）连接AC，BD，

∵∠ADC=2∠ABC=120°，AB=BC，AD=CD，
∴△ABC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=30°，
∴BC=AC，∠BCA=60°，且B、H、D三点共线，
∴BH=CH•tan60°=

3

CH，DH=CH•tan30°=

3

3

CH，
∴BH=3DH；
（3）连接BD，EF，CF，

∵AB=BC，AD=CD，
∴BD是AC垂直平分线，
∴AF=FC，
在△ADF和△CDF中，

AD=CD DF=DF AF=CF

，
∴△ADF≌△CDF（SSS），
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAF=∠BCF，
∵F在线段EC垂直平分线上，
∴EF=CF，
∴∠BCF=∠FEC，
∴∠FEC=∠BAF，
∴∠BEF+∠BAF=180°，
∴A、E、F、B四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADF≌△CDF是解题的关键．