Question

如图，正五边形ABCDE中，对角线AD、CE相交于F，求证：
（1）△AEF是等腰三角形；
（2）四边形ABCE是等腰梯形；
（3）四边形ABCF是菱形．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：证明题

分析：（1）根据正五边形的性质求出AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠EDC=∠DCB=∠ABC=108°，再根据等腰三角形的性质求出∠EAD=∠ADE=∠ECD=∠CED=36°，根据三角形内角和定理得出∠AEC的度数，故可得出AE=AF，由此可得出结论；
（2）先根据正五边形的性质求出其内角的度数，再由等腰三角形的性质求出∠DCE的度数，∠BCE的度数，由平行线的判定定理得出AB∥CE，再由AE=BC即可得出结论；
（3）由（1）知，AE=AF，AE=AB，故AB=AF，由（2）知，AB∥CE，∠BCE=∠AFE=72°，所以BC∥AD，由此可得出结论．

解答：解：（1）∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠EDC=∠DCB=∠ABC=108°．
∴∠EAD=∠ADE=∠ECD=∠CED=

180°-108°

2

=36°，
∴∠AEC=108°-36°=72°，
∴∠AFE=180°-72°-36°=72°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；

（2）∵由（1）知，∠ECD=36°，
∴∠BCE=108°-36°=72°．
∵∠B=108°，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴AB∥CE．
∵AE=BC，
∴四边形ABCE是等腰梯形；

（3）∵由（1）知，AE=AF，AE=AB，
∴AB=AF．
∵由（2）知，AB∥CE，∠BCE=∠AFE=72°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCF是菱形．

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．