Question

15．在△ABC中，∠B=2∠C，AD为∠A的角平分线，mAB=nBD（n＞m＞0），则cosC=$\frac{m+n}{2n}$．

Answer 1

分析 延长BK使BK=AB，过AH⊥BD于H，根据正弦定理和角平分线的定理以及余弦的定义即可求出cosC．

解答 解：如图，
延长BK使BK=AB，过AH⊥BD于H，
∵∠B=2∠C，
∴△ABK，△AKC为等腰三角形，
∴H为中点，
∵mAB=nBD，不妨设AB=n，BD=m，
则BH=ABcos2θ=mcos2θ
由正弦定理得$\frac{AB}{sinθ}$，
∴AC=2ncosθ
由角平分线定理知道CD=2mcosθ，
∵H是中点，
∴n+ncos2θ=$\frac{1}{2}$（m+2mcosθ），
即4ncos²θ-2mcosθ-（m+n）=0，
解得cosθ=$\frac{m+n}{2n}$，
故答案为：$\frac{m+n}{2n}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质、正弦定理、角平分线定理以及三角形的外角和定理，题目的综合性较强，难度较大，正确的作出辅助线是解题关键．