Question

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（-1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； 
（2）根据图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用图象直接得出结论；
（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）
把B（3，2）代入${y_2}=\frac{k}{x}$得：k=6
∴反比例函数解析式为：${y_2}=\frac{6}{x}$
把C（-1，n）代入${y_2}=\frac{6}{x}$，得：
n=-6
∴C（-1，-6）
把B（3，2）、C（-1，-6）分别代入y₁=ax+b，得：$\left\{\begin{array}{l}3a+b=2\\-a+b=-6\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\right.$
所以一次函数解析式为y₁=2x-4

（2）
由图可知，当写出y₁＞y₂时x的取值范围是-1＜x＜0或者x＞3．

（3）y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形
如图，

过B作BP₁⊥y轴于P₁，
∠B P₁ A=0，△P₁AB为直角三角形
此时，P₁（0，2）
过B作BP₂⊥AB交y轴于P₂
∠P₂BA=90，△P₂AB为直角三角形
在Rt△P₁AB中，
$\begin{array}{l}AB=\sqrt{{P_1}{B^2}+{P_1}{A^2}}\\=\sqrt{{3^2}+{{（2+4）}^2}}\\=3\sqrt{5}\end{array}$
在Rt△P₁ AB和Rt△P₂ AB
$\begin{array}{l}∵cos∠{P_2}AB=cos∠{P_1}AB∴\frac{AB}{{{P_2}A}}=\frac{{{P_1}A}}{AB}\\∴{P_2}A=\frac{{A{B^2}}}{{{P_1}A}}=\frac{{{{（3\sqrt{5}）}^2}}}{6}=\frac{15}{2}\end{array}$
∴${P_2}O={P_2}A-OA=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}$
∴P₂（0，$\frac{7}{2}$）
综上所述，P₁（0，2）、P₂（0，$\frac{7}{2}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x的范围，解（3）的关键是分类讨论．