Question

16．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP=$\sqrt{5}$-1，则AB的长为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． 2或$\sqrt{5}$+1
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 先分类讨论：根据黄金分割的定义当AP为较长线段时AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，所以AB=$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$•AP；当AP为较短线段时，AP=AB-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，所以AB=$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$AP，然后把AP的长代入计算即可．

解答 解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
当AP为较长线段时，AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，所以AB=$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$•（$\sqrt{5}$-1）=2，
当AP为较短线段时，AP=AB-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，所以AB=$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$•（$\sqrt{5}$-1）=$\sqrt{5}$+1，
综上所述，AB的长为2或$\sqrt{5}$+1；
故选C．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．