Question

1．如图所示．在山顶上有一座电视塔AB（AB与水平面垂直），小明同学要测量电视塔AB的高度，在斜坡MN上取一点C，测得塔底B的仰角为30°，坡底M的俯角为15°，小明沿斜坡MN上行20米到点D，在点D测得塔底B的仰角为15°，塔顶A的仰角为45°，请根据以上数据帮助小明求出电视塔AB的高度（结果保留根号）．

Answer 1

分析 先过D作DF⊥AB于F，过B作BE⊥DC于E，过B作BG⊥AD，设BE=CE=x，根据DE=20+x，DE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$x，可得方程20+x=$\sqrt{3}$x，求得BE=10$\sqrt{3}$+10，进而得到BG=BE=10$\sqrt{3}$+10，最后根据△ABG是等腰直角三角形，即可得出AB=$\sqrt{2}$BG=10$\sqrt{6}$+10$\sqrt{2}$．

解答 解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，过B作BE⊥DC于E，过B作BG⊥AD，
由题可得，∠BCE=30°+15°=45°，则△BCE是等腰直角三角形，
设BE=CE=x，则DE=20+x，
∵∠BDE=15°+15°=30°，
∴tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即DE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$x，
∴20+x=$\sqrt{3}$x，
解得x=10$\sqrt{3}$+10，
即BE=10$\sqrt{3}$+10，
又∵∠ADB=∠ADF-∠BDF=45°-15°=30°，∠BDE=30°，
∴BD平分∠ADC，
∴BG=BE=10$\sqrt{3}$+10，
又∵∠ADF=45°，
∴∠A=45°，
即△ABG是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BG=$\sqrt{2}$（10$\sqrt{3}$+10）=10$\sqrt{6}$+10$\sqrt{2}$，
故电视塔AB的高度为（10$\sqrt{6}$+10$\sqrt{2}$）米．

点评 本题考查解直角三角形-仰角问题、锐角三角函数、勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是依据特殊角添加常用辅助线，构造特殊的直角三角形解决问题．