Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，6），点B（6，0），动点C在以半径为2$\sqrt{2}$的⊙O上，连接OC，AC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当点C在⊙O上运动到什么位置时，AC与⊙O相切？请说明理由．
（3）直线AB经过怎样的平移后与⊙O相切？请写出计算过程加以说明．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设直线AC与⊙O相切于点C，连接OC，作CH⊥OA于H．利用面积法求出点C坐标，再根据对称性确定另一个点C′的坐标即可；
（3）如图2中，作OM⊥AB于M交⊙O于G、N．求出MN、GM的长即可解决问题；

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+6．

（2）如图1中，设直线AC与⊙O相切于点C，连接OC，作CH⊥OA于H．

∵AC是切线，
∴∠ACO=90°，
∵OC=2$\sqrt{2}$，OA=6，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{36-8}$=2$\sqrt{7}$，
∵S_△ACO=$\frac{1}{2}$•AC•CO=$\frac{1}{2}$•OA•CH，
∴CH=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴点C坐标为（-$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$），
根据对称性可知当点C′坐标为（$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）时，直线AC′也是⊙O的切线．
综上所述，满足条件的点C坐标为（-$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

（3）如图2中，作OM⊥AB于M交⊙O于G、N．

易知：OM=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴MN=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，GM=3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
∴直线AB沿第一象限和第三象限的角平分线方向，向下平移$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$个单位后与⊙O相切．

点评 本题考查一次函数的应用、圆、切线的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用面积法确定点的坐标，属于中考压轴题．