Question

8．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x²+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q，点P在第四象限．
（1）若点P（2，-c），点Q的横坐标为1，求点Q的坐标；
（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x²+bx+c的对称轴交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若EQ=PE，c=$\frac{{b}^{2}}{4}-2$（b＜-5），求△OMQ的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式求出b，再将P代入抛物线得到c，求出抛物线解析式，根据Q点的横坐标即可解决问题．
（2）由题意可以假设直线PQ为y=-x+b′，利用方程组求出点Q坐标，求出S的表达式，根据函数增减性解决即可．

解答 解：（1）由题意：-$\frac{b}{2}$=2，
∴b=-4，∴抛物线为y=x²-4x+c，将P（2，-c）代入得到，-c=4-8+c，
∴c=2，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+2，
∵点Q横坐标为1，
∴点Q坐标为（1，-1）．
（2）由题意可以假设直线PQ为y=-x+b′，
∵顶点P（-$\frac{b}{2}$，-2），代入上式得到：-2=$\frac{b}{2}$+b′，
∴b′=-2-$\frac{b}{2}$，
∴直线PQ为y=-x-2-$\frac{b}{2}$，∴点M坐标（0，-2-$\frac{b}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2-\frac{b}{2}}\\{y={x}^{2}+bx+\frac{{b}^{2}}{4}-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{2}-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点Q坐标（-$\frac{b}{2}$-1，-1），
∴S_△OQM=$\frac{1}{2}$$•（-2-\frac{b}{2}）•（-\frac{b}{2}-1）$=$\frac{1}{8}$b²+$\frac{3}{4}$b+1=$\frac{1}{8}$（b+3）²-$\frac{1}{8}$，
∵b＜-5，b=-5时，S=$\frac{3}{8}$，
根据函数的增减性可知，S_△OQM＞$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查二次函数的性质、待定系数法，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会利用方程组求交点坐标，题目比较难，属于中考压轴题．