Question

14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°
∴∠DBF=∠DAC
∴△ACD∽△BFD；

（2）解：如图，∵∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴AD=BD，
∴$\frac{AD}{BD}$=1，
∵△ACD∽△BFD，AC=3，
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AD}{BD}$=1，
∴BF=AC=3．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用新三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．