Question

18．已知，如图，AB是半圆的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE，BE是方程x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的两个根（DE＜BE），求AC的长．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系结合勾股定理求解；连接OD、AD．根据已知条件得到DE、BE的长，证明△ABD与△BDE相似求解，根据射影定理即可求解．

解答 解：∵DE、BE是方程的两个根，
∴DE+BE=2（m+2），DE•BE=2m²-m+3．
又∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴DE²+BE²=BD²，
（DE+BE）²-2DE•BE=10²即4（m+2）²-2（2m²-m+3）=100，
∴m=5．
当m=5时，△=-4m²+20m+4=240＞0，
∴m的值为5．
连接DO，AD，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，∠ODE=∠E=90°．
∴∠ODE+∠E=180°，
∴OD∥BE．
∴∠ODB=∠DBE．
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBE．
∵m=5，
∴原方程为x²-14x+48=0．
∴x₁=6，x₂=8．
∵BE＞DE，
∴BE=8，DE=6．
∴BD=10，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E=90°．
又∵∠OBD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE．
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BD}{BE}$，即$\frac{AB}{10}=\frac{10}{8}$，
∴AB=$\frac{25}{2}$，
∵AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，∠CAB=90°．
∴△ACB∽△EDB，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{ED}$，
∴AC=$\frac{75}{8}$．

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，综合性强，难度较大．