题目内容
20．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图2，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH，称为中点四边形，这个中点四边形是平行四边形吗？
小敏同学认真思考后思路如下（如图1）：连接AC．
结合小敏的思路作答：
（1）若连接BD，用同样的方法也可以证明四边形EFGH是平行四边形，中点四边形是什么样的特殊平行四边形与四边形ABCD的对角线有着密切关系，当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出你的结论并证明；
（2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论；
（3）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形，直接写出结论．
分析 （1）结论：AC=BD．根据邻边相等的平行四边形是菱形，只要证明EF=EH即可；
（2）结论：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．根据有一个角是90°是平行四边形是矩形，只要证明∠HGF=90°即可；
（3）结论：当AC⊥BD，且AC=BD时，四边形EFGH为正方形．根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
解答 解：（1）结论：AC=BD．
理由：连接AC，BD
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵E、H分别是AB、AD的中点
∴EH=$\frac{1}{2}$BD
又EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴当AC=BD时，EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
（2）结论：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
（3）结论：当AC⊥BD，且AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
理由：∵EH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，BD=AC，
∴EH=EF，
∵当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH是正方形．
点评 本题考查四边形综合题、中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，记住特殊四边形的性质和判定方法，属于中考常考题型．
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5．
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如图，O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG、OC，OC交BG于点H．下面四个结论中不正确的是（ ）| A． | △BCE≌△DCF | B． | OG∥AD | C． | BH=GH | D． | OG=$\frac{1}{2}$BD |
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