Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，ME⊥AB交AC于点D，交BC的延长线于点E，求证：CM²=MD•ME．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质可以求出∠E=∠A，AM=CM，就可以求出∠E=∠MCD，就可以求出△CMD∽△EMC，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）∵EM⊥AB，
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠E=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠E=∠A．
∵M是BC的中点，
∴AM=MB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MCA=∠A．
∴∠MCD=∠E．
∵∠CMD=∠EMC，
∴△CMD∽△EMC，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\frac{MD}{CM}$，
∴CM²=MD•ME；

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解答时证明三角形相似是关键．属于中考常考题型．