Question

13．如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，AF⊥BD于F，则图中的全等三角形共有6对．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质，即可得知对比相等且平行，再根据平行找出相等的内错角，即可用全等三角形的判定定理SAS证出△ABD≌△CDB、△ABC≌△DCA；由对角线互相平分及对顶角相等能得出“AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB”，用全等三角形的判定定理SSS可证出△AOD≌△COB、△AOB≌△COD；由“AE⊥BD于E，AF⊥BD于F”可得出AE∥CF，即得出∠EAO=∠FCO，用全等三角形的判定定理ASA即可证出△EAO≌△FCO，同理亦可证出△ABE≌△CDF．故图中的全等三角形有6对．

解答 解：∵四边形为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DBC=∠BDA，∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA．
在△ABD和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{∠ABD=∠CDB}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SAS）；
在△ABC和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAC=∠DCA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCA（SAS）；
∵AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB．
在△AOD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{AO=CO}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COB（SSS）；
在△AOB和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AO=CO}\\{BO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（SSS）；
∵AE⊥BD于E，AF⊥BD于F，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△EAO和△FCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△FCO（ASA）．
同理可得出△ABE≌△CDF．
综上可知有6对全等的三角形．
故答案为：6．

点评 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键根据平行四边形的性质以及平行线的性质得出相等的边角关系．本题属于基础题，难度不大，在做该题时，由四边形为平行四边形可直接找出“△ABD≌△CDB，△ABC≌△DCA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD”这4对全等的三角形，再结合垂直于同一条直线的两直线平行即能找出另外两对全等的三角形．