Question

6．如图，⊙O₁与⊙O₂外离，O₁C是∠AO₁B的角平分线，O₁C经过点O₂，O₁A切⊙O₂于点E，交⊙O₁于点G．
（1）求证：O₁B是⊙O₂的切线；
（2）过O₂作⊙O₁的切线O₂D（D为切点），交⊙O₂于点F，判断GF与O₁O₂的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接EO₂，作O₂M⊥O₁B，垂足为M，利用角平分线性质只要证明O₂E=O₂M即可．
（2）利用相似三角形性质只要证明$\frac{OG}{O{O}_{1}}$=$\frac{OF}{O{O}_{2}}$即可．

解答 （1）证明：连接EO₂，作O₂M⊥O₁B，垂足为M．
∵O₁A是⊙O₂切线，
∴O₂E⊥O₁A，
∵O₁O₂平分∠AO₁B，
∴O₂E=O₂M，
∴O₁B是⊙O₂的切线．
（2）结论：FG∥O₁O₂，理由如下，
连接O₁D，DG，EF，
∵O₂D，O₁A是切线，
∴O₁D⊥OD，O₂E⊥OE，
∴∠O₁DO=∠O₂EO，
∵∠DOG=∠EOF，∠DO₁O+∠DOG=90°，∠EO₂O+∠EOF=90°，
∴∠DO₁O=∠EO₂O，
∵∠O₁DO=∠O₂EO=90°，
∴△O₁DO∽△O₂EO，
∴$\frac{OD}{O{O}_{1}}$=$\frac{OE}{O{O}_{2}}$，
∴$\frac{DO}{OE}$=$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$，
∵O₁D=O₁G，O₂E=O₂F，
∴∠O₁DG=∠O₁GD=∠O₂EF=∠O₂FE，
∴∠GDO=∠FOE，
∴△DOG∽△EOF，
∴$\frac{DO}{OG}$=$\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{DO}{OE}$=$\frac{OG}{OF}$，
∴$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$=$\frac{OG}{OF}$，
∴$\frac{OG}{O{O}_{1}}$=$\frac{OF}{O{O}_{2}}$，
∴FG∥O₁O₂．

点评 本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．