题目内容
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，P为AC边上一动点，PC=t，以点P为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于点G；（1）用含有t的式子填空：DP=3-t；AG=3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
（2）如图2，当点F在AB上时，求证：PG=PC；
（3）如图3，当P为DF的中点时，求AG：PG的值．
分析 （1）根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据勾股定理，可得AC的长，根据旋转的性质，可得DP的长，∠D的度数，根据锐角三角函数，可得PG的长，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得PG与PF的关系，根据旋转的性质，可得PF与PC的关系，根据等量代换，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得DP的长，根据锐角三角函数，可得PG的长，根据线段的和差，可得AG的长，根据比的意义，可得答案．
解答 解：（1）由∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，得AB=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理，得AC=3．
由线段的和差，得AP=AC-PC=3-t，
由旋转的性质，得DP=AP=3-t，∠D=∠A=30°，
PG=DP•tan∠D=（3-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
AG=AP-PG=（3-t）-（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）=3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
故答案为：3-t，3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
（2）证明：在△APF和△DPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AP=DP}\\{∠APF=∠DPG=90°}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△DPG（ASA），
∴PF=PG．
∵绕 P旋转C与F点重合，
∴PC=PF，
∴PC=PG；
（3）DF=AC=3，
P为DF的中点，得DP=AP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{3}{2}$．
PG=DP•tan∠D=$\frac{3}{2}$×tan30°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由线段的和差，得
AG=AP-PG=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$-1．
点评 本题考查了几何变换综合题，（1）利用了旋转的性质，锐角三角函数，线段的和差；（2）利用了全等三角形的判定与性质，旋转的性质；（3）利用了旋转的性质，锐角三角函数，线段的和差，比的意义．
开心蛙状元测试卷系列答案
如图，在?ABCD中，AD=3cm，AB=5cm，BD=4cm，求?ABCD的面积及对角线AC的长．
如图，在△ABC中，已知三条高AD、BF、CE相交于点O，求∠1+∠2+∠3的度数．
如图，在△ABC中，点D自点B向点C运动，作DE∥AC交AB于点E．作DF∥AB交AC于点F．| 星期 水位 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| 水位变化/米 | +0.2 | +0.8 | -0.4 | +0.1 | +0.3 | -0.4 | -0.1 |
| 实际水位/米 | 33.6 |
（1）本周星期二、五河流的水位最高，水位在警戒水位之上（上或下）；星期一河流的水位最低，水位在警戒水位之上（上或下）；
（2）与上周相比，本周末河流水位是上升了（上升了或下降了）；
（3）完成上面的实际水位记录；
（4）以警戒水位为0点，用折线统计图（如图2）表示本周的水位情况．
已知正方形的边长为a，内有一个内接圆，求阴影面积．