Question

10．如图：中铁十八局在2015年修通延安至延川高速公路中，要在途经安塞境内的某座山上打一个涵洞，某施工人员在山的周围取了四个点A、B、C、D，使AB⊥BC，又测得∠DAB=120°，DA=3km，DC=7km，BC=3$\sqrt{3}$km，根据你已学过的解三角形知识试求：涵洞DB的长．

Answer 1

分析 先构造出直角三角形，先求出DF，AF，进而求出BE，得出CE，利用勾股定理求出DE，最后再用勾股定理求出BD即可．

解答 解：过点D作DE⊥BC，过点A作AF⊥DE，
则四边形ABEF是矩形，
∴BE=AF，EF=AB，∠BAF=90°，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，AD=3，∠DAF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，AF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵BC=3$\sqrt{3}$，
∴CE=BC-BE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=7，
∴涵洞DB的长为7km．

点评 此题是直角三角形的应用，主要考查了不规则图形分割成特殊的几何图形，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是不规则几何图形的分割，也是解本题的难点．