设ω是一个平面图形.如果用直尺和圆规经过有限步作图.画出一个正方形与ω的面积相等.那么这样的等积转化称为ω的“化方．(1)阅读填空如图①.已知矩形ABCD.延长AD到E.使DE=DC.以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H.以DH为边作正方形DFGH.则正方形DFFH与ABCD等积．理由:连接AH.EH．∵AE为直径∴∠AHE=90� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC∴DH²=AD×DC．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）类比思考
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形各称），再转化为等积的正方形．
如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．
（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n-1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．
如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．

分析（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH²=AD×DC，据此判断即可．
（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S_△CEF=S_△ADF，S_△CDI=S_△AEI，所以S_△BCE=S_{四边形ABCD}，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．

解答解：（1）如图①，连接AH，EH，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}$=$\frac{DH}{DE}$，
即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH²=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（3）如图2，作法：
①过A点作AD垂直BC于D；
②作AD的垂直平分线，取AD中点E；
③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S_矩形BCGF=S_△ABC；
其他步骤同（2）可作出其等积正方形．

（4）如图3，作法：
①过A点作BD平行线l；
②延长CD交平行线与E点；
③连接BE，则S_{四边形ABCD}=S_△EBC，
同（3）可作出其等积正方形．
△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵BD∥l，
∴S_△ABD=S_△EBD，
∴S_△BCE=S_{四边形ABCD}，
即△EBC与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．