Question

1．如图，四边形ABCD中，AB=CD，M，N分别为AD，BC的中点，EF⊥MN交AB于点E，交CD于点F．求证：∠AEF=∠DFE．

Answer 1

分析 连接AC，取AC中点H，连接MH，NH，根据三角形的中位线的性质得到MH∥DC，MH=$\frac{1}{2}$DC，NH∥AB，NH=$\frac{1}{2}$AB，作HG⊥MN 根据平行线的判定和性质即可得到结论．

解答 证明：连接AC，取AC中点H，连接MH，NH，
设AC与EF交于Q，HN与EF交于P，
∵M，N为中点，
∴MH∥DC，MH=$\frac{1}{2}$DC，NH∥AB，NH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=CD，
∴MH=NH，
作HG⊥MN，
∴∠MHG=∠NHG 且EF⊥MN，
∴GH∥EF，
∴∠MHA=∠FCA，∠AHG=∠AQE=∠CQF，∠GHP=∠HPF，
∴∠DFE=∠FCA+∠FQC=∠MHA+∠AHG=∠MHG，
∵NH∥AB，
∴∠AEF=∠HPF，
∴∠MHG=∠GHN=∠HPF=∠AEP=∠DFE，
∴∠AEF=∠DFE．

点评 本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的判定和性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．