Question

5．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）若⊙O的半径为1cm，∠EAD=30°，求图中阴影部分的面积；
（3）第（2）问中的解题过程，用到的数学思想是转化的思想．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可．
（2）根据S_阴=S_{四边形AEDO}-S_扇形OAD=S_△AED+S_△AOD-S_扇形OAD计算即可．
（3）把求不规则图形面积转化为求规则图形面积去思考，体现了转化的思想．

解答 （1）证明：连接OA．
∵AE是⊙O切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD．
（2）解：∵∠EAD=30°，∠AED=90°，
∴∠ADE=∠ADO=∠OAD=60°，
∴∠AOD=60°，
∴S_阴=S_{四边形AEDO}-S_扇形OAD=S_△AED+S_△AOD-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$$•\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$．
（3）第（2）问中的解题过程，用到的数学思想是转化的思想．
故答案为转化的思想．

点评 本题考查切线的性质、扇形的面积、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．