Question

12．在矩形ABCD中，AD=15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为点G，如图，如果AD=3GD，那么DE=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作EH⊥FG于H，如图，设DE=x，先根据折叠的性质得AF=AD=15，EF=DE=x，再利用AD=3GD可计算出DG=5，AG=10，则在Rt△AFG中，根据勾股定理可计算出FG=5$\sqrt{5}$，接着利用四边形DEHG为矩形得到HG=DE=x，HE=GD=5，所以HF=FG-HG=5$\sqrt{5}$-x，然后在Rt△FHE中利用勾股定理得到5²+（5$\sqrt{5}$-x）²=x²，然后解方程求出x即可．

解答 解：作EH⊥FG于H，如图，设DE=x，
∵△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，
∴AF=AD=15，EF=DE=x，
∵AD=3GD，
∴DG=5，
∴AG=10，
在Rt△AFG中，FG=$\sqrt{A{F}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
易得四边形DEHG为矩形，
∴HG=DE=x，HE=GD=5，
∴HF=FG-HG=5$\sqrt{5}$-x，
在Rt△FHE中，∵HE²+HF²=EF²，
∴5²+（5$\sqrt{5}$-x）²=x²，解得x=3$\sqrt{5}$，
即DE=3$\sqrt{5}$．
故答案为3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．