Question

12．如图，已知直线l的函数表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得相应的函数值，相应自变量的值；
（2）根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）把x=0代入$y=-\frac{4}{3}x+8$，得y=8，即B（0，8），
把y=0代入$y=-\frac{4}{3}x+8$，得x=6，即A（6，0）
（2）当△APQ∽△AOB时，$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
当时△AQP∽△AOB时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
当△APQ∽△BOA时，$\frac{AP}{BO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{40}{13}$．
综上所述：t=$\frac{30}{11}$，t=$\frac{40}{13}$，t=$\frac{50}{13}$时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，相似三角形的性质，利用相似三角形的性质的出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．