Question

2．已知梯形ABCD，AD∥BC，AC与BD交于点O，过点O作EF∥AD分别交AB、CD于点E、F．

（1）如图1，求证：OE=OF；
（2）如图1，若BC-AD=7，EF-AD=3，求AD的长；
（3）如图2，联结BF、CE交于点P，过点P作GH∥BC分别交AB、CD于点G、H，求证：$\frac{1}{AD}$+$\frac{2}{BC}$=$\frac{1}{EF}$+$\frac{2}{GH}$．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC，EF∥AD可得出△BOE∽△BDA，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DOB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据（1）可知，$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，$\frac{EO}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，故$\frac{EO}{BC}$+$\frac{EO}{AD}$=1，$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{AD}$=$\frac{1}{EO}$=$\frac{2}{EF}$．根据BC=AD+7，EF=AD+3，设AD=x，代入•上式进行计算即可；
（3）根据（1）可知$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$①，同理可得$\frac{1}{EF}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{GH}$②，再把两式相加即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，EF∥AD可得出△AEO∽△ABC，△DOF∽△DOB，
∴$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{OF}{BC}$，
∴OE=OF；

（2）∵由（1）知，$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，$\frac{EO}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{EO}{BC}$+$\frac{EO}{AD}$=1，
∴$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{AD}$=$\frac{1}{EO}$=$\frac{2}{EF}$．
∵BC=AD+7，EF=AD+3，
设AD=x，则
$\frac{1}{x+7}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x+2}$，
解得x=21．

（3）∵由（1）知$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$①，
同理可得$\frac{1}{EF}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{GH}$②，
∴①-②得$\frac{1}{AD}$+$\frac{2}{BC}$=$\frac{1}{EF}$+$\frac{2}{GH}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、梯形的性质等知识，在解答（2）时要注意设出未知数，利用方程求解．