Question

已知：如图，直线y=

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x-1交x轴于B，交y轴于A，C为双曲线y=

k

x

（x＞0）上一点，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．求k值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先根据直线y=

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x-1与坐标轴交于A、B两点求出两点坐标，再设C（x，y），由等腰三角形的性质可知AC=BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD²+AD²=AC²，2AC²=AB²，故可得出关于x、y的关系式，求出x、y的值即可．

解答：解：∵直线y=

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x-1交x轴于B，交y轴于A，
∴A（0，-1），B（5，0）．
设C（x，y），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，即x²+（y+1）²=（5-x）²+y² ①，
过点C作CD⊥y轴于点D，
∵CD²+AD²=AC²，2AC²=AB²，即x²+（y+1）²=AC²，2AC²=26，
∴2x²+2（y+1）²=26②，
①②联立得，

x2+(y+1)2=(5-x)2+y2 2x2+2(y+1)2=26

，
解得x=2或3，
由①得，y=12-5x，
当x=2时，y=12-5×2=2，
当x=3时，x=12-5×3=-3（舍去）；
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数y=

k

x

上，
∴k=2×2=4．

点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质及两点间的距离公式、勾股定理、反比例函数的性质，根据题意作出辅助线，列出关于x、y的方程组是解答此题的关键．